Question

Aria domeniului marginit de Gf al functiei f:[0,$\pi /4$ ]⇒R

f(x)=1/cos^2(x) si dreptele x=0,y=0,x=$\pi /4$ ,este=?????????

Answer 1

Aria=$\int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 { \frac{1}{ cos^{2}x } } \, dx$
tgx lo↑π/4=tgπ/4-tg0=1

Answer 2

Aria unui domeniu marginit definit de o functie este integrala marginita a valorilor acelei functii pe domeniul respectiv
$A=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{\cos^{2}{x}}dx}$
Facem urmatoarea schimbare de variabila
$u=tgx$ de unde rezulta ca
$du=(tgx)^{\prime}=(\frac{\sin{x}}{\cos{x}})^{\prime}dx=\frac{\sin^{\prime}{x}*\cos{x}-\sin^{x}*\cos^{\prime}{x}}{\cos^{2}{x}}dx=\frac{\cos{x}*\cos{x}-\sin{x}*(-\sin{x})}{\cos^{2}{x}}dx=\frac{\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}}dx=\frac{1}{\cos^{2}{x}}dx$
Deci practic ce este in interiorul intervalului va fi egal cu du
Daca am schimbat variabila, trebuie sa schimbam si capetele intervalului
pentru x=0
$u=tg0=0$ iar pentru x=pi/4
$u=tg\frac{\pi}{4}=1$ deci avem
$A=\int_{0}^{1}du=u|_{0}^{1}=1-0=1$