Matematică, întrebare adresată de andreutzakriss, 9 ani în urmă

Aria triunghiului ABC este 28 cm². Aflati aria triungjiului AMN, unde MN este linie mijlocie în triunghiul ABC.


albastruverde12: Exista 3 linii mijlocii intr-un triunghi, deci datele sunt insuficiente
albastruverde12: In orice caz, se poate demonstra ca cele trei triunghiuri despre care vorbeam, au arii egale.

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Iusty7
2
Cele trei linii mijlocii intr-un triunghi, imparte triunghiul in 4 triunghiuri cu aceiasi arie => AriaAMN=AriaABC/4=28/4=7cm²

albastruverde12: Nu zic ca nu ar fi corect, dar in enunt se precizeaza ca MN este linie mijlocie, iar triunghiul are 3 linii mijlocii. Rezolvarea ta este pentru cazul cand MN || BC.
Răspuns de albastruverde12
2
In atasamentul de mai jos poti vedea cele trei posibilitati despre care vorbeam anterior. (De aceea spun ca era necesar sa si precizezi despre ce linie mijlocie este vorba)

In orice caz, voi demonstra ca cele trei triunghiuri evidentiate au aceeasi arie, egala cu un sfert din aria triunghiului ABC.

In figura 2 ai un triunghi ABC cu cele trei linii mijlocii ale sale ( [XY] ; [YZ] si [XZ]).

Ne propunem sa demonstram ca ariile triunghiurilor AYZ, AYX si AZX sunt egale.

Cum XZ || AY si XZ=AC/2=AY, rezulta ca AYXZ este paralelogram. Sa-i notam centrul cu O. Stim insa ca intr-un paralelogram, cele 4 triunghiuri formate de diagonale si de laturi (in cazul de fata AOZ,AOY, ZOX, XOY)) sunt echivalente (au aceeasi arie).
[tex] \displaystyle Voi~nota~s=A_{AOY}=A_{XOY}=A_{XOZ}=A_{AOZ}. \\ \\ Atunci~A_{AZY}=A_{AOZ}+A_{AOY}=2s. \\ \\ A_{AXY}=A_{AOY}+A_{XOY}=2s. \\ \\ A_{AXZ}=A_{AOZ}+A_{XOZ}=2s. \\ \\ Deci~am~demonstrat~ca~ \boxed{A_{AZY}=A_{AXY}=A_{AXZ}}~.[/tex]

\displaystyle \Delta AZY \sim \Delta ABC,~iar~raportul~de~asemnare~este~ \frac{1}{2}.~Deci~raportul \\  \\ ariilor~este~ \left(\frac{1}{2} \right)^2= \frac{1}{4}. \\  \\ Deci~A_{AZY}=A_{AXZ}=A_{AYZ}= \frac{A_{ABC}}{4}.

Deci in cazul de fata (sau "cazurile de fata") fiecare triunghi evidnetiat are aria egala cu 7 cm^2.


Anexe:

albastruverde12: Daca anumite fragmente nu se vad, te rog sa dai un refresh, caci am redactat atat in LaTeX, cat si fara LaTeX
andreutzakriss: Mulțumesc mult! Ca de obicei, un răspuns excelent! ;))
albastruverde12: Cu mare placere!
Alte întrebări interesante