Question

Aria unui triunghi isoscel este egala cu S, iar unghiul facut de medianele duse de la varfurile bazei, opus bazei, este alfa. Determinati baza.

Answer 1

Triunghiul isoscel are proprietatea ca mediana dusa din varful cu laturile adiacente congruente va fi de asemenea si inaltime. Notam acea inaltime cu h
Toate medianele se intersecteaza in punctul G, care are proprietatea ca se afla pozitionat la 1 treime fata de baza din mediana respectiva.
Atunci distanta de la G la b va fi
$Gb=\frac{1}{3}h$
Aria unui triunghi este egala cu inaltimea *baza pe 2
$S=\frac{b*h}{2}\Rightarrow h=\frac{2S}{b}$
Medianele corespunzatoare laturilor congruente sunt la randul lor congruente, atunci BGC va fi la randul lui isoscel. Asta inseamna ca Gb va fi atat inaltime cat si bisectoare, cat si mediana, deci unghiul respectiv din G, alfa va fi impartit in doua parti egale alfa/2
Acum consideram tangenta lui alfa din triunghiul dreptunghic GbB
$tg=\frac{cateta opusa}{cateta alaturata}$
Atunci
$tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{b}{2}}{Gb}=\frac{b}{2*\frac{1}{3}h}=\frac{3b}{2h}\Rightarrow 3b=2htg\frac{\alpha}{2}=2\frac{2S}{b}tg\frac{\alpha}{2}\Rightarrow b^{2}=\frac{4}{3}Stg\frac{\alpha}{2}\Rightarrow b=\sqrt{\frac{4}{3}Stg\frac{\alpha}{2}}$