Question

artati ca numarul 1+2+2²+2³+.......+2⁶³ este divizibil cu 15​

Answer 1

Avem o progresie geometrica cu

$b_1=1\\q=2\\n=64$

Stim ca suma primelor n elemente dintr-o progresie geometrica este $S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Astfel, aplicand formula pe cazul nostru :

$S_n= \frac{2^{64}-1}{2-1} = 2^{64}-1$

Altfel spus trebuie sa demonstram ca $2^{64} -1$ este divizibil cu 15.

$2^{64}= 4^{32} = 16^{16} = 256^{8} = 65536^4 = 4294967296^2 = 18446744073709551616$

Deci 18446744073709551616-1 = 18446744073709551615

Ca un numar sa fie divizibil cu 15 trebuie ca acesta sa fie divizibil cu 3 si cu 5.

Ca un numar sa fie divizibil cu 5 trebuie sa aiba ultima cifra 5 sau 0 (18446744073709551615 are ultima cifra 5, deci e divizibil cu 5)

Ca un numar sa fie divizibil cu 3 trebuie sa aiba suma cifrelor divizibila cu 3 (1+8+4+4+6+7+4+4+0+7+3+7+0+9+5+5+1+6+1+5=87 . Stim ca 87 este divizibil cu 3 (8+7=15), deci numarul este divizibil cu 3)

Fiind divizibil cu 3 si cu 5, numarul dat este divizibil cu 15