Question

Aș avea nevoie de puțin ajutor la mate.

Aflați părțile stabile finite ale lui Z în raport cu operația de înmulțire.

Răspunsul de la final este {0}, {1}, {0,1}, {-1,1}, {-1,0,1}, însă nu știu cum să ajung aici. Mulțumesc!​

Answer 1

H parte stabila pentru multimea Z <=> pentru oricare x,y din H, atunci x*y apartine tot multimii H

Fie multimea H, multime finita cu valori intregi, pentru care definim:

m=min{H}

M=max{H}

pentru ca H sa fie parte stabila:

$m\leq m*m\leq M= > (relatia1)\\m\leq m*M\leq M= > (relatia2)\\m\leq M*M\leq M = > (relatia3)$

Din relatia 3 putem folosi imediat M*M<=M, care este adevarata doar daca:

|M|<=1 => M apartine multimii {-1,0,1}

Se scriu toate submutimile multimii {-1,0,1}

{-1}, (-1)*(-1)=1 nu este parte stabila

{0} 0*0=0 => multimea este parte stabila

{1} 1*1=1 => multimea este parte stabila

{-1;0} (-1)*(-1)=1 nu este parte stabila

{-1;1} (-1)*(-1)=1, -1*1=-1 si 1*1=1 => multimea este parte stabila

{0;1} (0)*(0)=0, 1*1=1 si 0*1=0 => multimea este parte stabila

{-1,0,1} multimea este parte stabila(in conditia initiala)

Multimile finite care sunt parti stabile pentru Z sunt: {0}, {1}, {0,1}, {-1,1}, {-1,0,1},

Answer 2

Parte stabila a lui Z in raport cu inmultirea este orice multime M cu proprietatea ca ∀ x, y ∈ M ⇒ x·y ∈ M.
Adica oricare doua elemente (chiar si doua elemente identice) din M am lua, daca le inmultim, obtinem tot un element din M.

Ne intereseaza multimile cu aceasta proprietate, dar care sunt finite.

Ne gandim intai la multimile cu un singur element. Pentru a fi parte stabila, acel element inmultit cu el insusi va trebui sa ne rezulte tot el.
Observam ca doar 0 si 1 au aceasta proprietate: 0·0=0 si 1·1=1.
Deci putem avea partile stabile {0}, {1}.
Observam ca 0·1=1. Prin urmare, si multimea {0, 1} este parte stabila.

Acum, daca e sa ne gandim la alte numere, observam ca 2·2=4, ceea ce inseamna ca pentru a avea elementul 2 intr-o parte stabila, va trebui sa-l avem si pe 4, dar daca-l avem pe 4 va trebui sa-l avem si pe 4·4=16, si asa mai departe. Adica partea stabila va deveni o multime infinita, care nu ne intereseaza.
La fel se intampla si daca ne gandim la orice numar mai mare decat 2, sau orice numar mai mic sau egal cu -2.

Singurul numar intreg ramas neverificat este -1.
-1·(-1)=1. Deci pentru a fi parte stabila, o multime care-l contine pe -1 trebuie neaparat sa-l contina si pe 1.
De aici obtinem multimile {-1, 1} si {-1, 0, 1}.

Deci singurele parti stabile finite ale lui Z in raport cu inmultirea sunt {0}, {1}, {-1, 1} si {-1, 0, 1}.
Altele n-ai cum sa gasesti si am explicat mai sus de ce.