Question

as dori sa mi se explice la punctul a de ce ∆ trebuie sa fie < 0; nu ar însemna ca x ia valori in C in loc de R? mulțumesc anticipat

Answer 1

!!!! nu confunda o functie f(x)  cu ecuatia atasata functiei , si anume f(x)=0...!!!
nu uita ca tu studiezi numai functii rele de variabila reala, adica f(x) :R->R
si repeta mental semnul functieide gradul 2, toatecele 3(care sunt 6) cazuri

Rezolvare
daca F este o primitiva a lui f, pt ca aceasta primitiva sa fie crescatoare, inseamna ca derivata ei tbuie sa fie POZITIVA
 dar derivat lui F(x) este f (x)
ceea ce inseamna ca f9x0 trebuie sa fie pozitiva pe R
dar f este un produs intre o exponentiala, e^x si o functiede grad 2, x²+x+a
exponentiala este tot timpul pozitiva
deci ramane ca functia de gradul 2 sa fie tot timpul pozitiva
functia de grad2 are semnul numarului care sta pe langa x² , si anume 1, adica +1, adica semnul +, peste tot , mai putin eventual intre radacini
cum trebuie sa aibe peste tot semnul +, inseamna ca logic, NU TREBUIE SA AIBE radacini , desi ar merge 2 confundate
adica eu as pune conditia Δ≤0, ptca in acest caz functia x²+x+a este pozitiva cel putin egal cu 0 in un singur punct in vecinatatea caruia functia NU SCHIMBA semnul +
deci functia nu are radacini sau are 2 confundate, caz in care este tot timpul pozitiva, iar primitiva ei va fi tot timpul crescatoare, exceptand un punct de inflexiune

da , inseamna ca x AR LUA valori in C,  DACA ar trebui sa rezolvam ECUATIA
x²+x+a=0
iar acele valori complexe ar arata exact asta ca functia NU are radacini reale, deci NU exista x real pt care functia ia valoarea 0, deci NU intersecteaza axa Ox, si e DEASUPRA axei Ox 9pt ca semnul lui 1, care sta pe langa x²,este +) adica functia  ia tot timpul valori POZITIVE si niciodata 9vorba vine, o dat si doar o data poate lua)  0

dar cum ti-am spus, eu as inclina pt ≤0, ca o valoare si numai una (care sunt 2 confundate, sorry, asta e) nu afecteaza semnul functiei x²+x+a
deci eu as zice Δ≤0
1-4a≤0
4a≥1
a≥1/4⇔a∈[1/4;∞)

as simple/complicated/beutifull as that!