Question

Aș dori un răspuns la problema AM 215 din culegerea UPT 2019​

Answer 1

I = I₁ + I₂

I₁ = ∫₀ˡⁿ² (xeˣ)/(eˣ+1) dx

Integrăm prin părți:

I₁ = ∫₀ˡⁿ² x•(eˣ)/(eˣ+1) dx

I₁ = xln(eˣ+1)⎢₀ˡⁿ² - ∫₀ˡⁿ² ln(eˣ+1) dx

Facem schimbarea de variabilă în integrala ∫₀ˡⁿ² ln(eˣ+1) dx cu ln(eˣ+1) = t

⇒ eˣ+1 = eᵗ => eˣ = eᵗ-1 ⇒

⇒ eˣ dx= eᵗ dt

x = 0 ⇒ t = ln2

x = ln2 ⇒ t = ln3

⇒ ∫₀ˡⁿ² ln(eˣ+1) dx =

= ∫₀ˡⁿ² eˣln(eˣ+1)/eˣ dx =

= ∫ₗₙ₂ˡⁿ³ teᵗ/(eᵗ-1) dt = I₂

⇒ I₁ = xln(eˣ+1)⎢₀ˡⁿ² - I₂

⇒ I₁ + I₂ = xln(eˣ+1)⎢₀ˡⁿ²

⇒ I = ln(2)ln(3)

⇒ a) corect