Question

As vrea o demonstratie la Relatia lui LEIBNIZ
MA²+MB²+MC²=3MG²+GA²+GB²+GC²

Answer 1

Daca →rA,→rB,→rC sunt vectorii de pozitie ai varfurilor (in raport cu un punct fix oarecare), vectorii de pozitie ai mijloacelor laturilor [BC], [CA], [AB] sunt →rM=1/2(→rB+→rC), →rN=1/2(→rC+→rA), respectiv →rP=1/2(→rA+→rB). Se observa ca punctele care impart medianele [AM], [BN], [CP] in raportul k = 2 au, toate, acelasi vector de pozitie, anume 1/3(→rA+→rB+→rC), prin urmare cele trei mediane sunt concurente. 
Avem →MA+→MB+→MC=(→MG+→GA)+(→MG+→GB)+(→MG+→GC)=3→MG+(→GA+→GB+→GC)=3→MG+→0=3→MG. 

Avem →MA=→MG+→GA, deci MA²=→MA²=MG²+GA²+2→MG·→GA si similarele. Stim de mai sus ca →GA+→GB+→GC=→0, de unde MA²+MB²+MC²=3MG²+GA²+GB²+GC²+2→MG²·(→GA+→GB+→GC)=3MG²+GA²+GB²+GC² 

*→ inseamna vector.