Question

Astea 2 limite vă rog

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

aplicam regura lui l`Hopital: lim dintr-un raport de functii = lim din raportul derivatelor acestora

8)

lim x(n) cand n-->∞ = lim [ln(2+n)}´: [ln(3+n)]´ = lim cand n-->∞ (3+n)/(2+n) = 1

9)

lim x(n) cand n-->∞ = lim 2n+1 / n^2+n  : 1/n = lim n(2n+1)/ n^2 + n = lim 2n^2 + n /  n^2 + n = 2/1 = 2.

Answer 2

[-] Punctul 8:

Raspuns :

$\lim_{n \to \infty} x_n =1$

Explicatie :

Aplicam criteriul clestelui :

$ln(2+n)\geq ln(2) \geq 1, \forall n \in N$,

$ln(3+n)\geq ln(3) \geq 1, \forall n \in N$

$ln(2+n) < ln(3+n), \forall n \in N$

Astfel :

$1\leq \lim_{n \to \infty} \frac{ln(2+n)}{ln(3+n)} \leq \lim_{n \to \infty} \frac{ln(3+n)}{ln(3+n)}\\\\ \lim_{n \to \infty} \frac{ln(3+n)}{ln(3+n)}=1$

Din criteriul clestelui rezulta

$\lim_{n \to \infty} x_n = 1$

[-] Punctul 8:

Raspuns :

$\lim_{n \to \infty} x_n =2$

Explicatie :

$ln(n^2+n)=ln(n(n+1))=ln(n)+ln(n+1)$

$x_n=\frac{ln(n)+ln(n+1)}{ln(n)} =1+\frac{ln(n+1)}{ln(n)}$

Determinam limita raportului :

$\lim_{n \to \infty} \frac{ln(n+1)}{ln(n)}\\ = \lim_{n \to \infty} \frac{ln(n(1+\frac{1}{n}))}{ln(n)}\\ = \lim_{n \to \infty} \frac{ln(n)+ln(1+\frac{1}{n}))}{ln(n)}\\ = \lim_{n \to \infty} 1+\frac{ln(1+\frac{1}{n})}{ln(n)}$

Deoarece

$\lim_{n \to \infty} \frac{ln(1+\frac{1}{n})}{ln(n)} = \frac{ln(1)}{ln(\infty)} =\frac{0}{\infty} = 0$

Rezulta

$\lim_{n \to \infty} \frac{ln(n+1)}{ln(n)} = 1$

Astfel, ne intoarcem in expresia initiala :

$\lim_{n \to \infty} x_n =1+1=2$