Question

Avem ABCD-patrulater
O1,O2-mijloacele diagonalelor
a) Demonstrati ca vectorul O1O2=vectorul AD-BC pe 2
b) Daca vectorul AD+CB=3.vectorul O1O2,atunci ABCD paralelogram

Answer 1

figura este patrulaterul ABCD, O1∈[AC], [AO1]=[O1C], O2∈[DB], [O2B]=[O2D]

O1O2=CA/2+AO2
AO2=AD+DB/2 care inlocuit mai sus rezulta:
O1O2=CA/2+AD+DB/2=AD+(CA+DB)/2
CA=CB+BA
DB=DA+AB ⇒ CA+DB=CB+DA (BA+AB=0 vectori opusi), cu aceasta O1O2 devine:
O1O2=AD+(CB+DA)/2
O1O2=AD+CB/2 - AD/2
O1O2=(AD-BC)/2

b)
AD+CB=3(AD-BC)/2
2AD+2CB=3AD-3BC
AD=BC ⇒ 2 vectori egali coliniari de acelasi sens deci cu module egale
in aceasta situatie avem:
[AD]║[BC] si [AD]=[BC] deci ABCD e paralelogram