Question

avem functia definit pe 0, infinit, cu valori in R,
f(x)=x*cos de pi supra x.

Sa se verifice f(x+1)-f(x)>1, oricare ar fi x>2 (se face cu Th. Langrage).

Cine o face e cel mai tare

Answer 1

f `(x)=cos(π/x)-x*sin(π/x)*(π/x²)= cos π/x+π/x*sin π/ x
f `(x)=/=0  pt  ca    pentru  x>2   π/x  ∈cadranului  1)  unde  si  sin  si  cos  sunt    strict  pozitive
x→2  => f `(x)→π/2
x→∞ cosπ/x→1  si  π/x*sinπ/x=sin (π/x)/(π/x)→1    (s-a  folosit  limita  fundamentala  sin u/u→1  cand u→0)
Deci  pt  x→∞,  f `(x)→2  Deci  f  `(x)∈(π/2,  2)  (1
f  continua  pe  R+  ,  Derivabila  Pe  R+  deci  suntem  in  conditiile  teoremei  lui  Lagrange.  Consideram  intervalul  (a ,a+1)  ,a>2 =>
exista  c  ∈(a  ,a+1)  a.i
[f(a+1)-f(a)]/(a+1-a)=f  `(c),  Dar  f  `(c)>π/2  (vezi  (1))  =>
f(a+1)-f(a)>π/2>1
Cum  a  a  fost  arbitrar  ales  se  poate  face  x=a >2
  si  se  obtine
f(x+1)-f(x)>1