Question

Avem un triunghi ABC. Bisectoarea unghiului A intersecteaza latura BC in D, iar mediatoarea lui AD intersecteaza pe AC in P. Demonstrati ca PD||AB.

Answer 1

PM este mediatoarea laturii AP ceea ce inseamna ca PM este mediana si inaltime in acelasi timp in triunghiul APM. De aici rezulta ca APD este triunghi isoscel cu unghiurile congruente $\angle{DAP}=\angle{ADP}$
AD este bisectoarea unghiului BAC, atunci $\angle{DAB}=\angle{DAC}=\frac{\angle{BAC}}{2}=\angle{DAP}$
Din cele 2 ultime relatii rezulta ca
$\angle{ADP}=\angle{DAB}$ care este exact relatia de egalitate ale unghiurilor alterne interne dintre 2 drepte paralele PD si AB unite de secanta AD. Aceasta egalitate de unghiuri arata ca PD||AB