Question

Aveți cerința mai in jos :

Answer 1

Răspuns:

Trebuie studiata intai marginirea, si pe urma monotonia:

b) Observam ca $a_2=\sqrt{a_1+6}=\sqrt{\sqrt 6+6}\leq \sqrt{3+ 6}=3.$

Aratam ca $a_n\in [\sqrt 6,3]$ pentru orice $n\in\mathbb N^*$, prin inductie dupa n.

I. Pentru n=1, avem $a_1=\sqrt 6\in[\sqrt 6,3]$ adevarat.

II. Presupunem ca $a_n\in[\sqrt 6,3]$, pentru un $n\geq 1$. Atunci

$a_{n+1}=\sqrt{a_n+6}\geq \sqrt{\sqrt 6+ 6}\geq \sqrt{6}$

De asemenea, $a_{n+1}=\sqrt{a_n+6}\leq \sqrt{3+6}=3$

Deci $a_{n+1}\in [\sqrt 6,3]$.

Din I si II, conform principiului inductiei matematice, rezulta ca $a_n\in [\sqrt 6,3]$ pentru orice $n\in\mathbb N^*$, deci sirul e marginit.

a) Avem $a_{n+1}-a_n=\sqrt{a_n+6}-a_n = \frac{a_n+6-a_n^2}{\sqrt{a_n+6}+a_n}$.

Ecuatia: $-x^2+x+6=0$ are solutiile $x_1=-2,x_2=3$, deci $-x^2+x+6\geq 0$ pentru $x\in [-2,3]$.

Cum $a_n\in [\sqrt 6,3]$, rezulta ca $-a_n^2+a_n+6\geq 0$. deci $a_{n+1}-a_n\geq 0$, deci sirul e crescator.

c) Cum sirul $(a_n)_a$ este crescator si marginit, rezulta din teorema lui Weierstrass ca este convergent. Fie $\ell=\lim_{n\to\infty}a_n$. Din relatia $a_{n+1}=\sqrt{a_n+6}$, trecand la limita, rezulta:

$\ell=\sqrt{\ell+6}$, deci $\ell^2-\ell-6=0$. De aici rezulta ca $\ell \in \{-2,3\}$. Dar $a_n\in[\sqrt 6,3]$, deci limita sirului nu poate fi -2. Rezulta ca $\ell=3$.