Question

bisectoarele interioare ale ∡B si ∡C ale ΔABC se intersecteaza in I. Prin punctul I se duce MN║BC, M∈(AB) si N∈AC. Demonstreaza ca MB+NC=MN

Answer 1

Rezolvata in atasament...

Answer 2

Desenăm triunghiul ABC, cu BC orizontală.

Ducem bisectoarele unghiurilor B și C, până la punctul  lor de intersecție, I.

Prin I ducem paralela MN la BC, cu M pe AB și N pe AC.

I ∈ MN și MN || BC ⇒ IM || BC,  IN || BC

BI-bisectoare pentru ∡B ⇒ ∡IBM ≡ ∡IBC     (1)

IM || BC ⇒ ∡IBC ≡∡BIM (alterne interne)     (2)

Din relațiile (1), (2) ⇒ ∡IBM ≡ ∡BIM ⇒ΔMBI - isoscel, MB = MI   (3)

CI-bisectoare pentru ∡C ⇒ ∡ICN ≡ ∡ICB     (1')

IN || BC ⇒ ∡ICB ≡ ∡CIN (alterne interne)     (2')

Din relațiile (1'), (2') ⇒ ∡ICN ≡ ∡CIN ⇒ΔNCI - isoscel, NC = NI   (3')

Din (3), (3') ⇒ MB + NC = MI + NI ⇒MB + NC = MN   [q.  e.  d.]