Question

BM = MN = NC, punctele P şi Q fiind situate pe laturile AB, respectiv AC, astfel încât În triunghiul isoscel ABC, AB = AC, se iau punctele M şi N pe latura BC, astfel încât PB = QC, iar PN n QM= {T}. Arătaţi că: a) AM= AN; b) PN = QM; c) AT I MN. ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Ip:

ΔABC = isoscel

AB ≡ AC

BM ≡ MN ≡ NC

PB ≡ QC

a )

ΔABC = isoscel ⇒ ∡ABC ≡  ∡ACB ⇒∡ABM ≡  ∡ACN (1)

BM ≡ CN (2)

AB ≡ AC (3)

Din (1),(2),(3) ⇒ ΔABM ≡ ΔACN (caz LUL)

⇒ AM ≡ AN

b)

MC = MN + NC = MN + BM = BN

⇒ MC ≡ BN (4)

∡ABC ≡  ∡ACB ⇒∡PBN ≡  ∡QCN (5)

PB ≡ QC (6)

Din (4),(5),(6) ⇒ ΔPBN ≡ ΔQMC (caz LUL)

⇒ PN ≡ QM

c)

Prelungim pe AT si notam AT ∩ BC = U

ΔPBN ≡ ΔQMC ⇒ ∡PNB  ≡  ∡QMC ⇒∡TMN ≡  ∡TNM ⇔ Δ TMN este isoscel

⇒ TM ≡ TN (7)

AM ≡ AN (8)

AT = latura comuna (9)

Din (7),(8),(9) ⇒ ΔAMN ≡ ΔANT (caz LLL)

⇒ ∡MAT ≡  ∡NAT ⇒ ∡MAU ≡  ∡NAU

⇒ AU = bisectoarea ∡MAN

Cum AM ≡ AN ⇒ ΔMAN este isoscel ⇒AU este si inaltime,deci AU ⊥ MB

⇒AT ⊥ MN