Question

Buna! Am doua probleme care imi dau batai de cap... Ma puteti ajuta, va rog, sa le rezolv?

1.  Doua mici corpuri de mase m1=100g si m2=300g aluneca liber fara frecare pe interiorul unei sfere pornind de la capetele unui diametru orizontal al sferei. Aflati cu ce unghi alfa fata de verticala vor devia corpurile dupa ciocnirea lor perfect elastica. 

2. De pe varful unei emisfere fixe de raza R=1,8 asezata pe un plan orizontal aluneca fara frecare si fara viteza initiala un corp mic. Aflati durata t a caderii corpului dupa desprinderea sa de emisfera.

Answer 1

O sa îți răspund la partea de fizică, pentru că fără să văd un desen mi-e greu să rezolv și partea de geometrie, cu care însă sunt convins că te descurci tu.

1. Corpurile vor ajunge în punctul de jos în exact același timp, cu exact aceeași viteză, evident. Să notăm cu $h$ înălțimea de la care au coborât, cu $h_1, h_2$ înălțimile până la care urcă fiecare după ciocnire, cu $v$ - viteza celor două corpuri când ajung jos, și cu $v_1,v_2$ vitezele celor două corpuri imediat după ciocnire.
a) Ecuațiile conservării energiei, de care vom avea nevoie imediat:
$\frac{\left(m_1 +m_2 \right)v^2}{2}=\left(m_1 +m_2 \right)gh \\ \\ \frac{m_1 v_1^2}{2}=m_1gh_1 \\ \\ \frac{m_2 v_2^2}{2}=m_2gh_2$

b) Pentru ciocnire, avem conservarea impulsului și conservarea energiei:
$\left( m_1+m_2 \right)v=m_1v_1+m_2v_2$

$\\ \frac{\left( m_1+m_2 \right)v^2}{2}= \frac{m_1 v_1^2}{2} +\frac{m_2 v_2^2}{2}$

Dacă mai scriem și legătura dintre înalțimi, rază și unghiuri, cu toate aceste ecuații se pot afla toate valorile căutate.

2. Corpul se desprinde când reacțiunea este 0, sau altfel spus, cân greutatea normală este echilibrată de forța centrifugă:
$mg \cos( \alpha )= \frac{mv^2}{R}$

Apoi, o parte din energia potențială din vârf s-a transformat în energie cinetică:
$mgR= \frac{mv^2}{2}+mgh$          unde h este înălțimea la care se desprinde.

Dar, din geometrie, știm că $h=R\cos( \alpha )$

Din toate acestea, aflăm înălțimea de la care se desprinde și viteza. Iar de aici cred că te descurci...

PS: Te rog să verifici și tu corectitudinea ecuațiilor, mai ales a celor cu cos.