Question

Buna am nev de aceasta problema va rog frumos dacă puteți face rezolvarea pe foaie (dacă chiar nu puteți e ok și aici doar sa îmi ziceți ce înseamnă * dacă e nev de ea ca eu chiar nu știu restul semnelor le stiu) va rog frumos sa fie o metoda cât mai corecta chiar am nev urgenta mulțumesc frumos

Answer 1

a) se rezolvă simplu, aplicând teorema fundamentală a asemănării

ME║CD  ⇒  ΔBME ~ Δ BCD

⇒ laturile sunt proporționale: EM / CD = BE / BD

ABCD dreptunghi ⇒ CD ≡ AB = 4√3

BE = 3DE  ⇒  BD = BE + DE = 4DE

⇒ EM / CD = 3DE / 4DE = 3 / 4

EM / 4√3 = 3 / 4

⇒ EM = 3√3

b) AE ≤ AF,  ∀F∈BD se traduce prin „AE este distanța minimă dintre punctul A și dreapta BD”

Distanța minimă dintre un punct A și o dreaptă d este lungimea segmentului dintre A și piciorul perpendicularei dusă prin A pe dreapta d.

Trebuie deci să demonstrăm că ΔAEB este dreptunghic în E.

Folosim funcțiile trigonometrice.

ΔDAB dreptunghic în A ⇒ sin ∡DBA = DA / DB = 4 / DB

DB² = AD² +  AB² = 16 + 16 · 3 = 16 · 4

DB = 4 · 2 = 9

sin ∡DBA = 4 / 8 = 1 / 2  ⇒ ∡DBA = 30°

presupunem că ΔAEB dreptunghic în E:

ar trebui să fie adevărată relația cos ∡ABE = EB / AB  ①

știm valorile:

cos 30° = √3 / 2

EB = BD · 3/ 4 = 6

AB = 4√3

înlocuim în relația ① și verificăm dacă este adevărată:

√3 / 2 = 6 / 4√3

√3 / 2 = 3 / 2√3

√3 / 2 = 3√3 / 6

√3 / 2 = √3 / 2 adevărat

⇒ presupunerea a fost corectă ⇒ ΔAEB dreptunghic în E

⇔ AE ⊥ BD

⇒ AE distanța de la A la BD

⇔  AE ≤ AF, ∀F ∈ BD

Answer 2

Explicație pas cu pas:

a)

BD² = AB²+AD² = (4√3)²+4² = 64 = 8²

=> BD = 8 cm

BE = 3DE

BD = BE + DE = 3DE + DE = 4DE

DE = 8:4 = 2 cm => BE = 6 cm

CD ≡ AB => CD = 4√3 cm

EM || DC => ΔBEM ~ ΔBDC

$\dfrac{EM}{DC} = \dfrac{BE}{BD} \iff \dfrac{EM}{4 \sqrt{3} } = \dfrac{6}{8}$

$EM = \dfrac{6 \cdot 4 \sqrt{3} }{8} \implies \bf EM = 3 \sqrt{3} \ cm$

b)

DE = BD-BE = 8-6 = 2 cm

AD = ½×BD => ∢ABD = 30° și ∢ADB = 60°

în ΔADE: DE = 2cm și AD = 4 cm => DE = ½×AD => DE este cateta opusă unghiului de 30° => ΔADE este dreptunghic

=> AE ⊥ BD

F ∈ BD

$\implies AE \leqslant AF$

q.e.d.