Question

Buna! Am nevoie de ajutor! Va rog frumos! Se da legea de compozitie x * y = log3 ( 3^x + 3^y + 1)
Aratati ca x * 0 = x + 1
Demonstrati ca x * y > 0
Aratati ca ( x * x) * x = log3 ( 2 + 3^x+1).
Va rog frumos!

Answer 1

x*y=log 3 (3^x+3^y+1)
x*0=log 3 (3^x+3^0+1)=log 3 (3^x+2)
x+1=log 3 (3^(x+1))
log 3 (3^x+2)=log 3 (3^(x+1)) 
3^x+2=3^(x+1)
3^x+2=3^x*3
3^x-3*3^x=-2
-2*3^x=-2
3^x=1
x=0

Daca x*y>0, atunci trebuie sa demonstram ca (0;∞) este parte stabila.
Functia exponentiala este mereu crescatoare (pozitiva).
Deci: 3^x>0 si 3^y>0. 
Daca 3^x>0 si 3^y>0, atunci si suma lor (3^x+3^y)>0. Dar cum si 1 este pozitiv, atunci (3^x+3^y+1)>0. Daca (3^x+3^y+1)>0, atunci exista logaritmul (conditia de existenta a logaritmului este ca numarul din care se scoate logaritmul sa fie pozitiv). Dar cum si log in orice baza din orice numar pozitiv, este pozitiv, atunci (0;∞) este parte stabila.

x*x=log 3 (3^x+3^x+1)=log3 (2*3^x+1)
(x*x)*x=(log3 (2*3^x+1))*x
Facem notatia pentru a usura calculul: a=log3 (2*3^x+1) si avem:
(x*x)*x=a*x=log3 (3^a+3^x+1)
Si revenim la notatia initiala:
(x*x)*x=log3 (3^(log3 (2*3^x+1))+3^x+1)
Dar a^log in baza a (din orice numar sau expresie)=numarul sau expresia de la putere. Deci avem:
(x*x)*x=log3 (3^(log3 (2*3^x+1))+3^x+1)=log3 (2*3^x+1+3^x+1)=log3 (3*3^x+2)=log3 (3^(x+1)+2).