Buna! As dorii tabelul cu monotonie pentru f:(0;+ inifinit)--->R, f(x)=x^2/2-lnx
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
f(x)=x²-lnx
Pe intervalele pe care derivata e negativa , functia e descrescatoare.Pe intervalele pe care derivata e pozitiva , functia e crescatoare
f `(x)=2x/2-1/x
f `(x)=x-1/x=
(x²-1)/x
determini semnul lui f `
Numitorul e strict pozitiv,deci semnul e dat de numarator
x²-1≥0
x²-1=0
x1= -1 x2=1
Conform regulii semnului pt functia de gradul 2
Pt x∈(-1,1) numaratorul e negativ.Deci pt x∈(-1,1)∩(0,+∞)-(0,1) derivata e negativa , in consecinta f(x) descrescatoare
Daca x∈(-∞,-1)U(1,+∞) numaratorul e pozitiv.Deci pt x∈(-∞,-1)U(1,∞)∩(0,∞)=
(1,∞) f `(x) este pozitiva, deci functia este crescatoare
Tabel
x l0 1 +∞
_______________________
f `(x)l - - -0 + + + + +
________________________
f(x)l \ \ \\0/ / / / / / /
f descrescatoare pe (0,1) si crescatare pe [1,+∞)
Explicație pas cu pas: