Question

Buna! Ati putea sa ma ajutati, va rog, cu problema atasata?
Va multumesc foarte mult pentru ajutor si timp!​

Answer 1

a)

Fie $A=M(f;bc,bc)$ unde bc denoteaza baza canonica respectivului spatiu vectorial. Fiind ca

$f(1,0,0)=(1,1)$,

$f(0,1,0)=(1,-2)$,

$f(0,0,1)=(1,0)$,

vom obtine

$A=\begin{bmatrix} 1&1&1\\1&-2&0\end{bmatrix}$.

b)

$f(1,2,3)=(1+2+3,1-2\cdot 2)=(6,-3)$.

$f^{-1}(1,0)=\left\{x\in\mathbb{R}^3:\: f(x)=(1,0)\right\},$

Adica, $x=(x_1,x_2,x_3)\in f^{-1}(1,0)$ numai, si numai daca $X=\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix}^T$ este o solutie a sistemului de ecuatie $AX=B$, unde $B=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}^T$.

Daca faci calculele, vei ajunge la solutia generala,

$x=(0,0,1)+\lambda(2,1,-3)$, cu $\lambda\in\mathbb{R}$. Aceste elemente apartin lui $f^{-1}(1,0)$.

c) Daca stii ca $n-r(A)=dimKerf$ unde $n$ este numarul de coloane, care este $3$ si $r(A)$ este caracteristica matricii, care e $2$ (verifici usor), vei ajunge la concluzia ca $Kerf$ este generat de un vector nenul. Cum ajungi la ea? De exemplu daca $X,Y$ sunt solutii la problema din b), adica, daca sunt solutii a ecuatiei lineare $AX=B$, vei avea ca $A(X-Y)=AX-AY=B-B=0$, adica $X-Y$ este solutia ecuatiei homogene $AX=0$. Poti defapt alege vectorul $(2,1,-3)$ ca fiind o solutie. De aici, $((2,1,-3))$ este o baza a lui $Kerf$.