Question

buna dimineata am si eu o problema:
determinati valorile numarului natural n pentru care 2n+3 ; n+7 ;4n-1 pot fi lungimile laturilor unui triunghi​

Answer 1

Răspuns:

n∈{4;5}

Explicație pas cu pas:

trebuie sa indeplineasc ca inegalitate triunghiului

adica \

FIECARE latura sa fie STRICT mai mare decat diferenta celorlate 2 si STRICT mai mica decat suma lor

|4n-1-n-7|<2n+3<n+7+4n-1

|4n-1-2n-3|<n+7<6n-2

|2n+3-n-7|<|4n-1|<2n+3+n+7

adica

|4n-8|<2n+3<5n-6

|2n-4|<n+7<6n-2

|n-4|<4n-1<3n+10

n=0..nu verifica

n=1..nu verifica

n=2...nu verifica prima

n=3,nu  verifica primele 2

n=4 verifiaca toate

pt n>4

4n-8<2n+3<5n-6

2n-4<n+7<6n-2

n-4<4n-1<3n+10

adica

2n-11<0<3n-9....n∈{4;5}

n-11<0<5n-9....n∈{2;3....9;10}

0<3n+3<2n+14 ....n<11//...n∈{0;1...10}

intersectand, raman n∈{4;5}

solutie generala

n∈{4;5}

Answer 2

Notăm lungimile laturilor:

a = 2n + 3

b = n + 7

c = 4n - 1

Într-un triunghi, suma lungimilor oricăror două laturi este mai mare

decât lungimea laturii a treia.

a + b > c ⇒ 2n+3 + n+7 > 4n -1⇒ 3n+10 > 4n -1⇒ 10+1 > 4n-3n⇒ 11 > n⇒

⇒ n < 11    (1)

a + c > b ⇒ 2n+3 + 4n-1 > n + 7⇒ 6n + 2 > n + 7⇒ 6n-n > 7-2⇒

⇒ 5n > 5⇒n > 5:5 ⇒ n > 1     (2)

b + c > a ⇒ n+7 + 4n-1 > 2n + 3⇒ 5n + 6 > 2n +3 (Adevărat, pentru oricare n-natural, deoarece 5n>2n și 6 > 3)

(1), (2) ⇒ 1 < n < 11 ⇒ n ∈ {2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  10}