Question

Buna dimineata,ma puteti ajuta cu exercitiul de mai jos ? Am incercat in zadar sa ridic la patrat de 2 ori,imi rezulta o ecuatie de gradul 2 care nu are solutii reale...Am nevoie de metode de rezolvare,daca o iau pe ghicite imi dau seama ca x=5 insa eu am nevoie de metoda :/ (sqrt inseamna radical)

sqrt (x+4) + sqrt (2x+6)=7

Answer 1

sqrt (x+4) + sqrt (2x+6)=7

scadem $\sqrt{2x+6}$ in ambele parti

$\sqrt{x+4}+ \sqrt{2x+6}- \sqrt{2x+6}=7- \sqrt{2x+6} \\ \\ [tex](\sqrt{x+4})^{2} =(7- \sqrt{2x+6})^{2} \\ \\ (\sqrt{x+4})^{2} :x+4 \\ \\ (7- \sqrt{2x+6})^{2}:2x+55-14 \sqrt{2x+6} \\ \\ x+4=2x+55-14 \sqrt{2x+6}$
scadem 2x+55 in ambele parti
$x+4-(2x-55)=2x+55-14 \sqrt{2x+6}-(2x-55) \\ \\ -x-51=-14 \sqrt{2x+6}$
ridicam la patrat
$(-x-51)^{2}=(-14 \sqrt{2x+6})^{2}$
$(-x-51)^{2}$ il ridicam la patrat $x^{2} +102x+2601$
$(-14 \sqrt{2x+6)^{2}$ il ridicam la patrat  $392x+1176$
$x^{2} +102x+2601=392x+1176$
$x^{2} +290x+1425=0$
rezolvare ecuatie
x=285, x=5

Answer 2

ARE solutii reale
de fapt are o solutie si numai una
demonstratie


fie f(x) = √(x+4)+√(2x+6)
ptca √(x+4):[-4;∞)->[0;∞) crescatoare ptca functia √(x+a)estecrescatoare(se presupune cunoscut , dar la nevoie se poate demonstra cu derivata, dac aai absolvit a 11-a, sau cu raport sau cu diferenta, sau cu grafic, dac nu)
si
√(2x+6):[-3;∞)->[0;∞) crescatoare
intersectand intervalele, expresia are sens pt x≥-3

deci
√(x+4)+ √(2x+6):[-3;∞)->[1;∞) suma de functii strict crescatoare, este tot  strict crescatoare
 cum 7∈[1;∞) inseamna ca va lua valoarea 7 o data si doar o data

acum sa il aflam pe x


cu povestea de mai sus estePERFECT (si) PE GHICITELEA
presupunem ca x=5∈[-3;∞)..mersi ca mi-ai spus  eu inca nu il cautasem

verificam
√9+√16=7
3+4=7
7=7 , adevarat
deci 5 verifica ecuatia data
 cum f(x) =7 are o solutie si numai una, inseamna ca soltia ecuatiei f(x) =7 este 5

datorita demonstrarii monotoniei, rezolvarea de mai sus este corecta si punctabila maxim la o eventuala testare



Extra
desigur puteai si prin 2 ridicari la patrat, rezolvarea ecuatiei si eventuala eliminare a solutiei (solutiilor )ce nu apartinea(u)  intervalului [-3;∞) dar , vorba filosofului, ce sens are?
vad ca cealalta solutie asa este facuta, dar cred ca autorul problemei s-a gandit la cea pe care am postat-o eu (si rezolvat-o cu ajutorul tau, care mi-ai spus de 5...poate il vedeam, poate nu , dar sigur il cautam; cand am vazut suma de radicali, la asta m-am gandit).