Question

Buna! Imi explica cineva cum se face problema de mai jos cu combinari? Nu inteleg cum trebuie sa aplic formula.


Se da multimea A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Cate submultimi de trei elemente, dintre care exact unul este par, se pot forma?


Raspunsul este 50 dar nu inteleg cum de au ajuns acolo.


Multumesc anticipat!

Answer 1

Răspuns:

Se aleg combinări din nr impare luate câte 2 înmulțit cu combinări din nr pare luate câte 1.

Answer 2

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

Consider mulțimea {1; 3; 5; 7; 9} care are $C_{5}^3$ submulțimi de câte 3 elemente.

Notez mulțimea submulțimilor de câte 3 elemente ale {1; 3; 5; 7; 9} cu M, iar submulțimile cu m₁, m₂, m₃, ..., mₙ (sunt toate submulțimile din A fără niciun element par).

• M = {m₁; m₂; m₃; ...; mₙ}

Știm că produsul cartezian dintre mulțimea M și {2; 4; 6; 8; 10} îi atribuie câte un singur element din {2; 4; 6; 8; 10} fiecărui element din mulțimea M.

Deci:

M × {2; 4; 6; 8; 10} =

= {m₁; m₂; m₃; ...; mₙ} × {2; 4; 6; 8; 10}

= {(m₁, 2); (m₁, 4); (m₁, 6); ...; (mₙ, 6); (mₙ, 8); (mₙ, 10)}

• Este mulțimea de submulțimi căutată (fiecarui element din submulțimi îi corespunde exact un număr par).

Răspuns:

card(M × {2; 4; 6; 8; 10}) =

= card(M) · card({2; 4; 6; 8; 10})

$=C_{5}^3 \cdot 5 = \dfrac{5!}{3!(5-3)!}\cdot 5 = \dfrac{3!\cdot 4\cdot 5}{3!\cdot 2!}\cdot 5 = 10 \cdot 5 = \boxed{50}$