Question

Buna, ma poate ajuta si pe mine cineva cu asta:

Sa se arate ca pentru orice numar n apartinand lui N : (9^n)-1 este divizibil cu 8.

Multumesc!

Answer 1

Folosesti formula

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$,

care este valabila pentru orice numere reale a,b si pentru orice numar natural, n.

Inlocuim in formula pe a cu 9, pe b cu 1 si in prima paranteza se obtine8.
Deci $9^n-1=8\cdot(...................)\vdots8$  .

Altfel: Prin inductie
Fie P(n): "$9^n-1\vdots8$"
P(0):  "0 se divide la 8" - Adevarata
Presupunem ca P(k) este adevarata, adica $9^k-1\vdots8$ (ipoteza de inductie)
Trebuie aratat ca p(k+1) este adevarata, adica $9^{k+1}-1\vdots8$

Vom folosi ipoteza de inductie:

$9^{k+1}-1=9\cdot9^k-1=(8+1)\cdot9^k-1=8\cdot9^k+(9^k-1)\vdots8$