Buna, ma puteti ajuta, va rog ? O sa pun mai multe exercitii, dar orice raspuns la orice intrebare imi este de folos. (Nu trebuie sa raspundeti neaparat la toate exercitiile, ci doar la cele pe care le cunoasteti). Multumesc anticipat !
1. Determinati numerele naturale de forma abc (cu bara deasupra), stiind ca impartite la 7 dau catul bc (cu bara deasupra) si restul a.
2.Aratati ca numarul A=2+4+6+..+1024--8la puterea a 3-a este si patrat perfect si cub perfect. (doar 8 este la puterea a 3-a)
3. Scrieti numarul12321 ca diferenta de doua numere patrate perfecte.
4.Demonstrati ca nu exista n (apartine) lui N pentru care numerele 11(la puterea n) +9(la puterea n) si 11(la puterea n)--9 (la puterea n) sa fie simultat patrate perfecte.
5. Cate numere mai mici decat 1000 impartite la 381 dau restul un cub perfect ?
Răspunsuri la întrebare
1. 100a + bc = 7×bc + a 99a = 6×bc 6·bc divide 99a ⇒ a= nr.par ⇒ dacă a=2 bc=198÷6 =33 ⇒ abc =233 dacă a=4 bc = 66 abc =466 ptr. a=6 bc = 99 abc=699
2. A = 2(1+2+3+.......512)- 2^9 = 2×(512·513/2) - 2^9 =2×256 513 - 2^9 =2^9(513-1) = 2^9×2^9 = 2^18 = ( 2^9)² = (2^6)³
3. 12321 = 111² =3²·37² = 9×1369 = x²-y² = (x+y)(x-y) ⇒varianta a) x+y = 1369 x-y= 9 ⇒ x= 689 y = 680 varianta b) x+y = 333 x-y =37 ⇒ x=185 y= 148 varianta c) x+y =4107 x-y =3 ⇒x= 2050 y = 2047
4. 11^n +9^n =x² (1)
11^n- 9^n =y² (2) (1) -(2) = 2·9^n = x² - y² = (x+y)(x-y) și dând diferite valori lui n (1,2,3,...) se constată x și y sunt (întotdeauna) unul nr. par și celălalt impar ⇒ (x²-y²) = nr impar , adică 2·9^n nu divide (x²-y²) pentru nici o valoare a lui n
5. n- x³ = 381×q q<3 ptr.ca 381 ×3 > 1000 daca q=2 x³ = n-762 < 238 ⇒x³ = 6³ =216 (7³=343>238) ⇒n = 216 +762 =978 sau x³=5³ = 125 ⇒n= 125 + 762 = 887 sau x³ = 4³ = 64 ⇒ n=64 + 762 = 826 sau x³ = 3³ ⇒ n=27 + 762 =789 ....la fel ptr. x³=2³ ;i ptr/ x³ =1
daca q =1 n - x³ = 381 n = 381 + x³...... rest < 381 ⇒ x³ = 7³, 6³,5³,4³,3³,2³,1³