buna!
poate cineva sa mi arate cum se rezolva exercitiile 12 si 13?
multumesc anticipat!
Răspunsuri la întrebare
Explicație pas cu pas:
Conform definiției, o fct este concavă pe I daca:
oricare ar fi X și Y din I și oricare ar fi t din intervalul [0,1],
are loc inegalitatea:
f ((1-t)*X+t*Y) >= (1-t)*f (X) + t*f(Y)
Așadar nu confunda definiția cu interpretarea geometrică, sau cu interpretarea ca derivata a doua este negativă pe I. Alea sunt consecințe (interpretări, observații, deducții) ale definiției.
Așadar, daca in definiție înlocuiești t cu 1/2 (pentru că in definiție spune că inegalitatea are loc pt orice t din intervalul [0,1]), obții exact cerința ta.
La 13, se aplica exact proprietatea de la ex 12 pentru funcțiile:
f(x) = x^2, care este convexă pe R, deci inegalitatea este inversa. Se și vede asta in cerința.
f(x) = sin (x), care este concavă pe [0, 2pi].
La 13 vei folosi consecințele concavității/convexității
Adică:
Prima fct, având derivata a doua egală cu 2, o constantă pozitivă, înseamnă că este convexă pe R, de unde rezultă, CONFORM DEFINITIEI, că are loc inegalitatea din definiție (cu sens schimbat, adică <=), de unde rezultă că și pt t=2 are loc, de unde rezultă cerința.
Analog la sinus.
sinus derivat este cosinus, apoi cosinus derivat este - sinus. Sinus este pozitivă pe 0, 2pi, de unde rezultă că - sinus este negativă pe 0, 2pi, de unde rezultă că fct sin(x) este concavă pe 0, 2pi, de unde, conform ex 12....
Dar atenție! Proprietatea de la ex 12 nu se poate folosi de-a gata. Aici o avem.imediat înaintea ex 13. Dar dacă îți dădea doar ex 13, fara sa îl ai pe 12, trebuia arătat folosind toți pașii făcuți in ex 12.
multumesc!!
daca ar explica asa si profesorul de clasa..