Question

Bună seara. Am nevoie de ajutor. Va mulțumesc!


1). Scrieți numărul 10 la puterea 2020 ca o suma de două pătrate perfecte.

2). Arătați că numărul A=5+5 la puterea a 2 a+5 la puterea a 3 a+...........5 la puterea 2020 se divide cu 39.​

Answer 1

Răspuns:

·

Explicație pas cu pas:

Ex1. 10²⁰²⁰=10²·10²⁰¹⁸=(6²+8²)·(10¹⁰⁰⁹)²=6²·(10¹⁰⁰⁹)²+8²·(10¹⁰⁰⁹)²=(6·10¹⁰⁰⁹)²+(8·10¹⁰⁰⁹)², deci e o sumă de două p.p.

Ex2.   A=5+5²+5³+5⁴+...+5²⁰²⁰. Vom grupa câte 4 termeni consecutivi...

A=(5+5²+5³+5⁴)+(5⁵+5⁶+5⁷+5⁸)+...+(5²⁰¹⁷+5²⁰¹⁸+5²⁰¹⁹+5²⁰²⁰)=

=1·(5+5²+5³+5⁴)+5⁴·(5+5²+5³+5⁴)+...+5²⁰¹⁶·(5+5²+5³+5⁴)=

=(5+5²+5³+5⁴)·(1+5⁴+...+5²⁰¹⁶)=(5+25+125+625)·(1+5⁴+...+5²⁰¹⁶)=

=780·(1+5⁴+...+5²⁰¹⁶)=39·20·(1+5⁴+...+5²⁰¹⁶), deci A se divide cu 39.

p.s.  2020:4=505 rest 0, deci A poate fi scris ca o sumă din sume de patru termeni consecutivi, A având 2020 de termeni.