Question

Buna seara ma poate ajuta cineva va rog frumos dau coroana ​

Answer 1

Arătați că f este bijectivă. Determinați funcția inversă

$f : A \to B, \ A, B \subseteq \mathbb{R}$

• funcția f este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă
• funcția f este bijectivă dacă este injectivă și surjectivă.
• funcția f este injectivă dacă oricare ar fi $x_{1}$ și $x_{2}$ din A, cu $x_{1} \neq x_{2} \implies f(x_{1}) \neq f(x_{2})$  sau:  $f(x_{1}) = f(x_{2}) \implies x_{1} = x_{2}$
• funcția f este surjectivă dacă pentru orice y ∈ B, există un x ∈ A astfel încât y = f(x)

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ f(x) = 2x - 1$

$x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}, \ x_{1} \neq x_{2} \ \Big|\cdot2 \Leftrightarrow 2x_{1} \neq 2x_{2} \ \Big|(-1) \Leftrightarrow 2x_{1} - 1 \neq 2x_{2} - 1 \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})$

⇒ funcția f este injectivă

$y \in \mathbb{R}, y = f(x) \Leftrightarrow y = 2x - 1 \Leftrightarrow 2x = y +1 \Leftrightarrow x = \dfrac{y+1}{2} \in \mathbb{R} \ \ \forall y \in \mathbb{R}$

⇒ funcția f este surjectivă

⇒ funcția f este bijectivă ⇒ funcția f este inversabilă

din:

$x = \dfrac{y+1}{2} \Rightarrow f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ \bf f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{2}$