Question

Buna seara,
Va rog daca puteti sa imi explicati cum se rezolva urmatoarul exercitiu:
Aratati ca n = 2 la puterea 42 + 3 la puterea 61 nu este patrat perfect.

Multumesc

Answer 1

Stim ca ultima cifra a unui patrat perfect poate fi doar 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.
Deci daca un nr are ultima cifra 2, 3, 7 sau 8 inseamna ca nu este patrat perfect.

Mai stim ca ultima cifra a puterilor lui 2 si 3 se repeta din 4 in 4 astfel:
U($2^{4n+1}$)=2
U($2^{4n+2}$)=4
U($2^{4n+3}$)=8
U($2^{4n}$)=6

U($3^{4n+1}$)=3
U($3^{4n+2}$)=9
U($3^{4n+3}$)=7
U($3^{4n}$)=1

si cum 42=4*10+2 este de forma 4n+2, iar 61=4*15+1 este de forma 4n+1, obtinem ca ultima cifra a numarului cautat:
U($2^{42}+3^{61}$)=U($2^{42}$)+U($3^{61}$)=4+3=7
Dar cum un patrat perfect nu poate avea ultima cifra 7 inseamna ca numarul dat nu este patrat perfect.

(q.e.d.)