Question

Buna!Va rog,ajutati-ma!Vreau rezolvarea a trei probleme de matematica.

1.Daca a=1+ 2 la puterea 2+ 2 la puterea 3+.......+ 2 la puterea 59,aratati ca numarul a+1 este patrat perfect si cub perfect.

2. Aratati ca oricum am alege 2014 numere naturale,exista cel putin 2 dau acelasi rest prin inpartirea la 2013.

3.Fie "n" un numar natural care da restul 12 prin impartirea la 100.
a.Aratati ca (n+88) este divizibil cu 100.
b.Aflati restul impartirii la 100 a numarului : n la puterea 2 +4 x n+8

Answer 1

2)
La impartirea cu 2013 resturile pot fi: 0,1,2,3,4,.....,2012⇒2013 resturi
Daca din 2014 numere presupunem ca 2013 dau resturi diferite (cele mentionate anterior), ramene un numar care neaparat are tot unul din acele resturi -de exemplu 1- deci vor cel putin 2 care sa dea acelsi rest.
3)
a)
Aplicam teorema impartirii cu rest:
n=100*c+12=M100+12
n+88=M100+12+88=...
b)
Aflati restul impartirii numarului n^2+4n+8=(M100+12)^2+2*(M100+12)+8=  M100+12^2+M100+2*12+8=M100+144+24+8=....
Aplici Teorema impartirii cu rest: D=100*C+R=M100+R, unde R<100
Sper ca te-am ajutat!
E bine?

Answer 2

1.  a = 1+ 2 + 2² + 2³ +.........+2^59      2a = 2 + 2² +2³ +..........+2^60
2a - a = a = 2^60 - 1
a+1 = 2^60 =  (2^30)² = (2^20)³
2.  dintre cele 2014 numere , 2013 sunt  de forma :
2013k , ( 2013k + 1), ( 2013k + 2), ...........(2013k + 2012)  iar al 2014-lea repeta una din formele anterioare  si da acelasi rest la impartire
3.  n = 100a + 12
a)  n + 88 = 100a + 100 = 100(a+1) divizibil cu 100
b) n² + 4n + 8 =   (100a +12)²+ 4(100a +12) + 8 = 10000a² + 2400a + 144 + 400a + 48 + 8 = 10000a² + 2800a + 200 = 200(50a² + 14a + 1) ⇒  r = 0