Question

Buna ziua. As avea nevoie de o idee de rezolvare a 2 probleme de geometrie plana.
1. Fie triunghiul ABC dreptunghic in unghiul A si sin C= radical din 5 pe 5
a. AC= 8 cm, aflati perimetrul ABC; b. AB = 4 cm, unghiurile; c. M mijlocul lui [BC], demonstrati ca in conditiile de mai sus aria patrulaterul ABMD este egala cu 10 cm patrati.

2. Fie ABC un triunghi dreptunghic in A si tg C = 3/4, $tg C= \frac{3}{4}$
a. BC=20cm, aflati perimetrul ABC; b. M mijlocul lui [BC], perpendiculara in M pe BC intersecteaza dreapta AC in punctul E. Daca AC=16 cm, aratati ca CE=12,5cm; c. demonstrati ca in conditiile de mai sus, aria patrulaterului ABME este egala cu 37,5 cm patrati.
* o mica intrebare: care este forma descompusa a expresiei algebrice 4x+6? Pare bizar enuntul, nici macar nu e x la patrat, ce as mai putea "sa ii fac" expresiei sa fie descompusa?
PS: - cele 2 probleme de geometrie se aseamana oarecum, va rog, incercati macar una sa imi rezolvati.
- punctul a l-am rezolvat in ambele cazuri, am inlocuit sin, respectiv tg cu formula cat op/ip, respectiv cat op/cat al, in primul caz mi-a dat P=12+4RADICAL DIN 5 $P= 12+4 \sqrt{5}$, in al doilea caz P=48 cm.
As fi recunoscatoare pentru o mica idee sau un ajutor (macar) succint. Va multumesc.

Answer 1

1.a)   sinC = AB/BC = √5 /5    AB =√5/5 ·BC    AB² + AC² = BC²    BC² /5 + 64 = BC²
4BC² /5 = 64    BC² = 80    BC = 4√5cm    AB = 4cm  P = AB +BC+AC = 12+4√5
b)  AB = 4cm; sinC =√5 /5    BC = AB/sinC = 4√5 cm  AC² = 80- 16 = 64   AC = 8cm
sinB = AC/BC = 8/4√5 = 2√5 /5  (<C = arcsin√5 /5;  <B = arcsin 2√5 /5  calculezi si cauti in tabele)
c) unde-i D?
2.  a) BC =20cm  tgC = AB/AC = 3/4    AC = 4AB /3    AB² + 16AB² /9 = 400
25AB² /9 = 400    AB² = 400·9 /25    AB = 12cm  AC = 16cm   P = 48cm
b) in Δ  MEC   cosC = MC/EC    EC=MC/cosC = BC/2 ·BC/AC = 400/2·16 = 12,5cm
c)A ABME = A Δ ABM + A Δ MAE   
A Δ ABM = [AB·AC/2]/2 = 12·16/4 = 48cm²
AΔAME = (AE·AB/2 )/2 = [(AC - EC)·AB/2 ] /2 = (16-12,5)·6/2 = 21/2 = 11,5cm²
A ABME = 59,5cm²