Question

Bună ziua! Cine ma poate ajuta cu ex 4, va rog frumos!
Mulțumesc!

Answer 1

Salut,

Submulțimile de 4 elemente sunt de forma S = {e₁, e₂, e₃, e₄}, unde e₁, e₂, e₃ și e₄ sunt elementele acestei submulțimi.

Îți reamintesc că elementele unei mulțimi, sau ale unei submulțimi se scriu o singură dată, în ordine crescătoare (în acest caz, în ordine alfabetică) (1).

Conform enunțului e₁ = a și e₄ = g, pentru că a și g trebuie simultan conținute de către submulțimi.

Este clar că e₁ = a pentru că a este primul element al mulțimii A din enunț, iar e₄ = g, pentru că g este chiar ultimul element al mulțimii A.

Cu alte cuvinte, nu am putea avea e₂ = a (dacă ar fi așa (dar nu este), atunci   nu am mai respecta regula (1) de mai sus. Similar, nici e₃ (de exemplu) nu ar putea fi egal cu g, pentru că nu există în mulțimea A niciun element după g. Sper să fi înțeles.

Până acum avem că  S = {a, e₂, e₃, g}, unde se vede că a și g ocupă pozițiile obligatorii și simultane în submulțimile S.

Atenție mare (să nu greșești la teste, la teze și la examene) ! Nu ți se cere care sunt acele submulțimi, ci ți se cere să afli CÂTE sunt, adică avem o problemă de numărare.

Cum a și g au poziții fixe în submulțimile S, rămâne să numărăm câte submulțimi se pot forma, conform enunțului, cu elementele rămase, adică cu b, c, d, e și f (5 elemente).

În enunț se cere clar ca submulțimile să nu conțină elementul f din mulțimea A, deci din cele 5 elemente de mai sus, rămân de luat în seamă doar 4, adică b, c, d și e.

Cu alte cuvinte, cerința problemei este de fapt să numărăm câte mulțimi putem forma cu cele 4 elemente (b, c, d și e) luate câte 2.

De ce două ? Pentru că sunt exact elementele e₂ și e₃ pe care nu le avem încă determinate.

Asta sună clar a formulă de combinări de 4 luate câte 2:

$C_4^2=\dfrac{4!}{\cdot (4-2)!\cdot 2!}=\dfrac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{2!\cdot 2!}=\dfrac{24}{2\cdot 2}=6.$

Răspunsul este deci 6.

Având în vedere să nu sunt chiar așa de multe, le și putem scrie (ca să avem o soluționare ultracompletă):

{a, b, c, g}

{a, b, d, g}

{a, b, e, g}

{a, c, d, g}

{a, c, e, g}

{a, d, e, g}.

În cele scrise mai sus se vede că am respectat regula (1) și NU am folosit elementul f din mulțimea A (așa se cere în enunț).

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.