Question

Bună ziua! La punctul b 1) spune in barem ca n+1=2^k, k<sau egal cu n => n=2^k - 1<sau egal cu 2006 => 2^k <sau egal cu 2007. Dar nu inteleg de la prima afirmatie. Ma puteti ajuta? ​

Answer 1

$A = \left\{\dfrac{2^n}{n+1}\Big|\, n\in \mathbb{N}^*,\, n\leq 2006\right\}$

Numărătorul este o putere a lui 2, asta înseamnă că și n+1 trebuie să fie tot o putere a lui 2 pentru a divide numărătorul:

⇒ n+1 = 2ᵏ

Dar numitorul trebuie să fie mai mic sau egal decât numărătorul:

⇒ n+1 ≤ 2ⁿ ⇒ 2ᵏ ≤ 2ⁿ ⇒ 1 ≤ k ≤ n

Astfel, n = 2ᵏ-1

Dar n ≤ 2006 ⇒ 2ᵏ - 1 ≤ 2006 ⇒ 2ᵏ ≤ 2007

2¹⁰ < 2007 < 2¹¹, asta înseamnă că mulțimea are doar 10 elemente naturale, iar deoarece mulțimea conține doar 2006 elemente (n ≤ 2006), înseamnă că are 2006-10 = 1996 elemente care nu sunt numere naturale.