Question

c)Aratati ca fractia 5n+2 supra 8n+3 este ireductibila,oricare ar fi n e N d)Aratati ca fractie 11n+3 supra 7n+2 este ireductibila ,oricare ar fi n e N

Answer 1

c) Fie d- divizor comun al nr. 5n+2 si 8n +3
    d I 5n+2⇒ d I 8*(5n+2)⇒ d I 40n+16
    d I 8n+3⇒ d I 5*(8n+3)⇒ d I 40n+15
     Cum (40n+16)-(40n+15)=1 si d I 1⇒ fractia 5n+2/8n+3 este ireductibila

d)  Fie d-divizor comun al nr. 11n+3/7n+2
      d I 11n+3⇒ d I 7*(11n+3)⇒ d I 77n+21
      d I 7n+2⇒ d I 11*(7n+2)⇒ d I 77n+22
      Cum (77n+22)-(77n+21)=1 si d I 1⇒ fractia 11n+3/7n+2 este ireductibila

Answer 2

c)   presupun ca exista d ≠1 astfel ca d | 5n+2  si  d | 8n+3
                           ⇒  d | 8(5n+2) adica d | 40n+16  si
                                d | 5(8n+3) adica d | 40n+15
       inseamna ca  d | 40n+16  -  40n-15  ⇔  d | 1 adica d=1;
                             deci  (5n+2 ; 8n+3) = 1  adica sunt prime intre ele !
d)   asemanator procedam si aici ...   d | 11n+3 => d | 77n+21 si
                                                           d |  7n+2  => d | 77n+22
                            adica d | 77n+22 - 77n-21 ⇔ d | 1 adica d=1 ;
                            deci  (11n+3 ; 7n+2) = 1  adica sunt  prime intre ele !