Question

c) Demonstrati ca la impartirea la 12 a uni numar prim, mai mare decat 3, se obtine unul din resturile 1,5,7 sau 11.
Ajutor e urgent !

Answer 1

Sa consideram un numar x mai mare decat 3:

Daca il impartim pe x la 12 vom obtine:

x : 12 = c , (rest) r

c = catul impartirii

r = restul impartirii

Asta inseamna ca putem sa-l scriem pe x ca:

x = 12c + r

Pentru ca impartitorul e 12, restul poate lua urmatoarele valori: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 (numere de la 0 la 11, deoarece restul e mereu mai mic decat impartitorul)

daca restul e 0:

x = 12c

evident, x e multiplu de 12, deci x nu este prim in cazul asta

daca restul e 1:

x = 12c + 1

in acest caz, x poate sa fie prim (exemplu: c=1, x=13)

daca restul e 2:

x = 12c + 2 = 2(6c+1)

evident, x este multiplu de 2

cum stim ca singurul numar prim divizibil cu 2 este chiar 2 si ca x-ul nostru e mai mare decat 3, x nu e sigur prim in acest caz

daca restul e 3:

x = 12c + 3 = 3(4c+1)

evident, x este multiplu de 3

cum stim ca singurul numar prim divizibil cu 3 este chiar 3 si ca x-ul nostru e mai mare decat 3, x nu e sigur prim in acest caz

daca restul e 4:

x = 12c + 4 = 4(3c+1)

evident, x e multiplu de 4, deci x nu este prim in cazul asta

daca restul e 5:

x = 12c + 5

in acest caz, x poate sa fie prim (exemplu: c=1, x=17)

daca restul e 6:

x = 12c + 6 = 6(2c+1)

evident, x e multiplu de 6, deci x nu este prim in cazul asta

daca restul e 7:

x = 12c + 7

in acest caz, x poate sa fie prim (exemplu: c=1, x=19)

daca restul e 8:

x = 12c + 8 = 4(3c+2)

evident, x e multiplu de 4, deci x nu este prim in cazul asta

daca restul e 9:

x = 12c + 9 = 3(4c+3)

evident, x e multiplu de 3 (mai mare decat 10 si singurul numar prim multiplu de 3 este chiar 3), deci x nu este prim in cazul asta

daca restul e 10:

x = 12c + 10 = 2(6c+5)

evident, x e multiplu de 2 (mai mare decat 10 si singurul numar prim multiplu de 2 este chiar 2), deci x nu este prim in cazul asta

daca restul e 11:

x = 12c + 11

in acest caz, x poate sa fie prim (exemplu: c=1, x=23)

In urma cazurilor studiate, ajungem la concluzia ca un numar prim poate sa dea doar resturile 1, 5, 7 sau 11 la impartirea la 12.