Question

c) (x + 1) (y + 1) (x +z) (y + z) >sau egal 16 xyz.
Fie numere reale pozitive x,y,z demonstrati ca inegalitatea de mai sus este adevărata oricare ar fi x,y,z​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Aplicăm  relația dintre media aritmetică și geometrică

$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a*b},~unde~a,b~numere~reale~pozitive \\(x+1)(y+1)(x+z)(y+z)=16*\frac{x+1}{2}*\frac{y+1}{2}*\frac{x+z}{2}*\frac{y+z}{2}\geq \\\geq 16*\sqrt{x*1}*\sqrt{y*1}*\sqrt{x*z}*\sqrt{y*z}=16*\sqrt{x*y*x*z*y*z}=16*\sqrt{x^2*y^2*z^2}=16xyz.$

Deci (x + 1) (y + 1) (x +z) (y + z) ≥16 xyz, unde x,y,z numere reale pozitive.

Answer 2

$\it m_a\geq m_g \Rightarrow \dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{a\cdot b} \Rightarrow a+b\geq2\sqrt{a\cdot b}\\ \\ \\ \left.\begin{aligned} \it x+1\geq2\sqrt x\\ \\ \it y+1\geq2\sqrt y\\ \\ \it x+z\geq2\sqrt {x\cdot z}\\ \\ \it y+z\geq2\sqrt {y\cdot z}\end{aligned}\right\} \Rightarrow (x+1)(y+1)(x+z)(y+z)\geq 16xyz,\ \forall x,y,z \in\mathbb{R}_{+}$