Question

calculati 1 supra 1 ori 2 + 1 supra 2 x 3 + 1 supra 3 x 4 + ... + 1 supra 2013 x 2014

Answer 1

Poti sa observi ca in general pentru un nr n avem urmatoarea egalitate
$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
Daca aplicam aceasta relatie pentru fiecare termen al sumei tale
$\frac{1}{2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$
$\frac{}{2*3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3*4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$
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$\frac{1}{2013*2014}=\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}$
Daca le adunam pe toate obtinem
$\frac{1}{2}-\frac{1}{2*3}-\frac{1}{3*4}+..+\frac{1}{2013*2014}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2014}=\frac{2014-1}{2014}=\frac{2013}{2014}$