Question

calculati (1x2 + 2x3 + 3x4 +.....+1992x1993 + 1987021):(
$1 {}^{2} + 2 {}^{2} + 3 {}^{2} + ....... + 1993 {}^{2}$
)

Answer 1

Prima paranteza
1x2 + 2x3 + 3x4 +.....+1992x1993 + 1987021 = 
1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 +1) + ........ 1992(1992 + 1) + 1987021 = 
1^1 + 1 + 2^2 + 2 + 3^2 + 3 + ....... 1992^2 + 1992 + 1987021 = 
(observam ca avem suma primelor n numere naturale = n(n+1)/2  si
  suma  patratelor primelor n numere naturale = n(n+1)(2n+1)/6 )
 1 + 2 + 3 +..... + 1992 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + .... 1992^2 + 1987021 = 
1992(1992+1)/2 + 1992(1992+1)(1992*2 + 1)/6 + 1 987 021 = 
996 * 1993 + 332 * 1993 * 3985 + 1 987 021
996 * 1993 + 332 * 1993 * 3985 + 1993 * 997 = 
1993(996 + 332 * 3985 + 997) = 
1993(332*3 + 332 * 3985 + 996 + 1) =
1993(332 * 3988 + 332 * 3 + 1) = 
1993(332 * 4001 + 1)


A doua paranteza este suma de patrate perfecte = 1993(1993+1)(1993*2+1)/6 = 1993 * 1994 * 3987/6 = 1993 * 997 * 3987/3 = 1993 * 997 * 1329

rezultatul va fi $\frac{1993(332 * 4001 + 1)}{1} * \frac{1}{1993 * 997 * 1329}$ = $\frac{332 * 4001 + 1}{997 * 1329}$