Matematică, întrebare adresată de denisza41, 8 ani în urmă

Calculati : 2 supra 13 +2 supra 35 +2 supra 57 +..... + 2 supra 7981 VA ROOG E URGENNNT OFER 50 p... as dori o explicatie cat mai amanuntita ... multumesc

Rayzen: Ai auzit de sume telescopice?

denisza41: da

Rayzen: Și nu ai înțeles cum se fac?

denisza41: da..

Rayzen: Aah..

Rayzen: 2/(1*3) + 2/(3*5) + 2/(5*7) + ... +2/(79*81) =
= (3-1)/(1*3) + (5-3)/(3*5) + (7-5)/(5*7) + ... +(81-79)/(79*81) =
= 3/(1*3) - 1/(1*3) + 5/(3*5) - 3/(3*5) + 7/(5*7) - 5/(5*7) + ... + 81/(79*81) - 79/(79*81) =
= 1 - 1/3 + 1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 + ... + 1/79 - 1/81

Rayzen: De asta se numește sumă telescopică, fiindcă se ajunge la o formă prin care se reduc aproape toți termenii.

Rayzen: se reduce 1/3, 1/5, 1/7,... 1/79 si va rămâne:
= 1 - 1/81 = 81/81 - 1/81 = (81-1)/81 = 80/81

denisza41: Mulțumesc!

Rayzen: N-ai pentru ce.

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de albatran

Răspuns:

80/81

Explicație pas cu pas:

vezi atasament

Anexe:

denisza41: multumesc mult!

albatran: cu placere

Răspuns de Rayzen

$\dfrac{2}{1\cdot 3}+\dfrac{2}{3\cdot 5}+\dfrac{2}{5\cdot 7}+...+\dfrac{2}{79\cdot 81} = \\ \\\\ =\dfrac{3-1}{1\cdot 3}+\dfrac{5-3}{3\cdot 5}+\dfrac{7-5}{5\cdot 7}+...+\dfrac{81-79}{79\cdot 81} = \\ \\\\ = \Big(\dfrac{3}{1\cdot 3}-\dfrac{1}{1\cdot 3}\Big) + \Big(\dfrac{5}{3\cdot 5}-\dfrac{3}{3\cdot 5}\Big) + ... +\Big(\dfrac{81}{79\cdot 81}-\dfrac{79}{79\cdot 81}\Big) =\\ \\ \\ =1 - \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{79}-\dfrac{1}{81} =$

$\\= 1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{79} - \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}-...-\dfrac{1}{79}-\dfrac{1}{81} = \\ \\\\ = 1 - \dfrac{1}{81} = \dfrac{81-1}{81}=\boxed{\dfrac{80}{81}}$