Question

Calculati GA+GB+GC (vectori) , unde G este centrul de greutate al triunghiului ABC.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

GA=2FA/3

=> GA=2/3 · FA (vectori)

FA=FC+CA (vectori)

=> GA= 2/3 · (FC+CA) (vectori) (*)

GB=2·BD/3

=> GB= 2/3 · DB (vector)

DB=DA+AB (vectori)

=> GB=2/3 · (DA+AB) (vectori) (**)

GC= 2/3 · EC

=> GC=2/3 · EC (vectori)

EC=EB+BC (vectori)

=> GC= 2/3 · (EB+BC) (vectori) (***)

Insumam relatiile (*), (**) si (***)

GA= 2/3 · (FC+CA) (vectori)

GB=2/3 · (DA+AB) (vectori)

GC= 2/3 · (EB+BC) (vectori)

______________+

GA+GB+GC= 2/3 · (FC+CA+DA+AB+EB+BC)  (vectori)

FC+CA+DA+AB+EB+BC=(AB+BC+CA)+(FC+DA+EB) (vectori)

OBS: AB+BC+CA=AC+CA=0 (vectori)

FC+DA+EB=1/2 · BC + 1/2 · CA + 1/2 · AB (vectori)

FC+DA+EB=1/2 · (BC+CA+AB) (vectori)

FC+DA+EB=1/2 · 0 (vectori)

FC+DA+EB=0 (vectori)

Revenind:

FC+CA+DA+AB+EB+BC=0 (vectori)

Deci

GA+GB+GC (vectori)=0 (vectori)