Question

Calculati integrala de la 0 la 1 din {x}(1-{x})

Answer 1

Salut,

Știm că orice număr este suma dintre partea lui întreagă și partea lui fracționară:

x = [x] + {x}

Pentru x ∈ [0,1), avem că [x] = 0, deci {x} = x.

Integrala devine:

$\int\limits_0^1x(1-x)dx=\int\limits_0^1xdx-\int\limits_0^1x^2dx=\dfrac{x^2}2\Bigg|_0^1-\dfrac{x^3}3\Bigg|_0^1=\dfrac{1}2-\dfrac{1}3=\dfrac{1}6.$

În cele de mai sus, l-am omis pe x = 1, dar integrală de la 1 la 1 este 0, așa că rezultatul final 1/6 rămâne la fel.

Green eyes.