Question

Calculati limita:
$\lim_{ x \to \ 0 } ( \frac{ 2^{x} + 3^{x} }{2} )^{ \frac{1}{x} }$

RASPUNS OFERIT DE MANUAL : $\sqrt{6}$

Answer 1

Trecand  direct  la  limita  se  ajunge  la  1^∞
reiei  limita  adunand si  scazand  1  la  baza.Vei obtine
x→0 lim[(1-1+(2^x+3^x)/2]^1/x=
lim[1+(2^x+3^x-2)/2]^1/x
Vei  ridica  paranteza  dreapta  la  puterea 2/(2^x+3^x-2) si  concomitent  la  putera (2^x+3^x-2)/2 pt  ca  rezultatul  sa  ramane  neschimbat
lim {[1+(2^x+3^x-2)/2]^2/(3^x+2^x-2)}^(3^x+2^x-2)/2x=
e^lim(3^x+2^x-2)/2x  relatia  1
ne  ocupam  de  exponent
lim(3^x+2^x-2)/2x=1/2[lim(3^x-1)/x+lim(2^x-1)]=1/2[ln3+ln2]=1/2ln6=ln√6
Revii  in  relatia  1
e^ln√6=√6

S-a  folosit  formula
x→0 lim(a^x-1)/x=lna