Question

calculati raportul numerelor a si b daca a=3/23 si b=3/10+4/40+3/88+3/430.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

presupunem că există o greșeală de tipar, iar 430 este 460

atunci, pentru orice k ≥ 1, k ∈ N, avem:

$\frac{1}{3k - 1} - \frac{1}{3k + 2} = \frac{3k + 2 - (3k - 1)}{(3k - 1)(3k + 2)} \\ = \frac{3}{(3k - 1)(3k + 2)}$

→

$b = \frac{3}{10} + \frac{3}{40} + \frac{3}{88} + ... + \frac{3}{340} + \frac{3}{460} =$

$= \frac{3}{2 \times 5} + \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + ... + \frac{3}{17 \times 20} + \frac{3}{20 \times 23}$

$= \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{11} \right) + ... + \left(\frac{1}{17} - \frac{1}{20} \right) + \left(\frac{1}{20} - \frac{1}{23} \right)$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{11} + ... + \frac{1}{17} - \frac{1}{20} + \frac{1}{20} - \frac{1}{23}$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{23} = \frac{23 - 2}{2 \times 23} = \frac{21}{46}$

→ raportul dintre a și b:

$\frac{a}{b} = \frac{3}{23} \div \frac{21}{46} = \frac{3}{23} \times \frac{46}{21} = \frac{2}{7}$

p.s. mulțumesc, @albatran