Question

Calculati S=(1+3+5+......+2013)-(2+4+6+....+2012)

Answer 1

modul 1:
mai intai calculam suma 1+3+5+.......+2013
Aceasta suma nu este una Gauss, pentru ca numerele nu sunt consecutive si nici nu pleaca din 1. De asemenea, observam ca nu putem da niciun factor comun. Prin urmare vom aplica metoda contorului. Pentru aceasta trebuie sa observam din cat in cat cresc numerele. In cazul de fata cresc din 2 in 2. Vom scrie fiecare numar din cadrul sumei ca fiind un produs de 2 * y + 1, unde y va diferi de la un numar la altul, iar 2, care este contorul, sta pe loc. Prin urmare vom avea:
1 = 2 * 0 + 1
3 = 2 * 1 + 1
5 = 2 * 2 + 1
.............
.........
.........
2013=1006*2+1
S=(2*0+1)+(2*1+1)+.....+(2*1006+1)
Desfacem parentazele si regrupam termenii adunarii astefl:
S=2*0+2*1+2*2+2*3+.......+2*1006+1+1+1+1+1+.....+1
1 se aduna de 1007 de ori (pentru ca numarul cu care s-a inmultit cu 2 la ultimul termen al sumei, si anume 2013, este 1006, iar pentru ca suma nu a pornit din 1 ci din 0, se mai adauga 1 => 1007)
Dam factor comun pe 2:
S=0+2*(1+2+3+......+1006)+1007
S=2*1006*(1006+1):2+1007
S=1006*1007+1007=1014049
acum calculam suma 2+4+6+8+......+2012
Aceasta suma nu este una Gauss, pentru ca numerele nu sunt consecutive si nici nu pleaca din 1. Observam insa ca il putem da factor comun pe 2 si rezulta ca suma va fi:
S=2*(1+2+3+.......+1006). In paranteza avem o suma Gauss, deci
S=2*1006*(1006+1):2=1006*1007=1013042
S=1014049-1013042=1007
modul 2:
mai intai calculam suma: 1+3+5+......+2013
Formula lui Gauss pentru sume de numere impare (suma incepe cu numarul 1)
1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n – 1 ) = n x n
In cazul nostru 2n-1 este 2013
deci:
2n-1=2013
2n=2013+1
2n=2014
n=2014:2
n=1007
S=n x n=1007 x 1007=1014049
acum calculam 2+4+6+....+2012
Daca sunt exercitii de forma:2 + 4 + 6 + 8 + … +2012 – se da factor comun 2 si se aplica formula:
Formula lui Gauss pentru suma de numere consecutive (valabila doar pentru sume care incep cu 1):
1 + 2 + 3 + 4 + … + n = n x ( n + 1 ) : 2
2+4+6+....+2012=2*(1+2+3+.....+1006)=2*1006*(1006+1):2=1006*1007= 1013042
S=1014049-1013042=1007
modul 3:
mai intai calculam suma: 1+3+5+.....+2013
1+3+5+.....+2013=1+(1+2)+(1+4)+.....+(1+2012)
(1+1+1+.....+1)+2(1+2+3+.......+1006)
1007+2*1006*(1006+1):2=1007+1006*1007=1014049
acum calculam suma 2+4+6+....+2012
2+4+6+....+2012=... este de forma 2+4+6+...+2n=n*(n+1); 
=> 2n=2012 deci n=2012:2 n=1006 => S=1006*(1006+1)=1006*1007=1013042
S=1014049-1013042=1007
modul 4:
mai intai calculam suma: 1+3+5+.......+2013
1+3+5+...+2013=(2013+1)*(numarul de termeni):2
numarul de termeni=(2013-1):2+1=2012:2+1=1006+1=1007
S=(2013+1)*1007:2=2014*503,5=1014049
acum calculam suma: 2+4+6+......+2012
2+4+6+...+2012=2(1+2+3+...+1006)= 2*(1+1006)*1006/2=1007*1006=1013042
S=1014049-1013042=1007