Question

Calculați S2=1^2+2^2+3^2+....+n^2
S3=1^3+2^3+3^3+....+n^3 vă rog frumos DAU COROANA

Answer 1

S₂ = 1² + 2² + 3² + ... + n²

(n+1)³ - n³ = n³+3n²+3n+1 - n³ = 3n²+3n+1

2³ - 1³ = 3·1²+3·1+1

3³ - 2³ = 3·2²+3·2+1

4³ - 3³ = 3·3²+3·3+1

.......................................

n³ - (n-1)³ = 3·(n-1)²+3·(n-1)+1

(n+1)³ - n³ = 3·n²+3·n+1

(Adun pe verticală.)

⇒ (n+1)³ - 1³ = 3·(1²+2²+3²+...+n²) + 3·(1+2+3+...+n) + 1·n

⇒ (n+1)³ - 1³ = 3S₂ + 3n(n+1)/2 + n

⇒ 2(n+1)³ - 2 = 6S₂ + 3n(n+1) + 2n

⇒ 6S₂ = 2(n+1)³ - 3n(n+1) - 2(n+1)

⇒ 6S₂ = (n+1)[2(n+1)²-3n-2]

⇒ 6S₂ = (n+1)[2n²+4n+2-3n-2]

⇒ 6S₂ = (n+1)(2n²+n)

⇒ S₂ = n(n+1)(2n+1)/6