Question

Calculați suma s=1+4+7+...+301

Answer 1

$S=1+(3 \cdot 1+1)+(3 \cdot 2+1)+...+ (3 \cdot 100+1)= \\ \\ ~~~=3 \cdot 1 +3 \cdot 2+...+3 \cdot 100+( \underbrace{1+1+1+...+1}_\mbox{101~de~1}})= \\ \\ ~~~=3(1+2+...+100)+101= \\ \\ ~~~=3 \cdot \frac{100 \cdot 101}{2}+101= \\ \\ ~~~=150 \cdot 101+101= \\ \\ ~~~=101(150+1)= \\ \\ ~~~=101 \cdot 151= \\ \\ ~~~= \boxed{15251}$

$O~varianta~mai~rapida~consta~in~folosirea~progresiilor~aritmetice.$

Answer 2

$1+4+7+.......+301=$
Aceasta suma nu este una Gauss, pentru ca numerele nu sunt consecutive si nici nu pleaca din 1. De asemenea, observam ca nu putem da niciun factor comun. Prin urmare vom aplica metoda contorului. Pentru aceasta trebuie sa observam din cat in cat cresc numerele. In cazul de fata cresc din 3 in 3. Vom scrie fiecare numar din cadrul sumei ca fiind un produs de 3 * y + 1, unde y va diferi de la un numar la altul, iar 3, care este contorul, sta pe loc. Prin urmare vom avea:
$1=3*0+1 \\ 4=3*1+1 \\ 7=3*2+1 \\ ........... \\ ........... \\ ........... \\ 301=3*100+1 \\ S=(3*0+1)+(3*1+1)+(3*2+1)+.......+(3*100+1)$
Desfacem paranteza si regrupam termenii adunarii astfel:
$S=3*0+3*1+3*2+...+3*100+1+1+1+....+1$
1 se aduna de 101 de ori (pentru ca numarul cu care s-a inmultit 3 la ultimul termen al sumei, si anume 301, este 100, iar pentru ca adunarea nu a pornit din 1 ci din 0, se mai adauga inca 1 => 101)
Dam factor comun pe 3:
$S=0+3*(1+2+3+....+100)+101 \\ S=3*[(100*(100+1)]:2+101 \\ S=1,5*(100*101)+101 \\ S=1,5*10100+101 \\ S=15150+101=15251$
Sper ca te-am ajutat!