Question

Calculati sumele:
a)1*2+2*3+3*4+...+2003*2004;
b)5*10+10*15+15*20+...+10015*10020.

Answer 1

[tex]a)1\cdot2+2\cdot3+3\cdot 4+...+2003\cdot2004=\\ 1(1+1)+2(2+1)+3(3+1)+....+2003(2003+1)=\\ 1+1+2^2+2+3^2+3+...+2003^2+2003=\\ (1+2+3+4+5+....+2003)+(1+2^2+3^2+....+2003^2)=\\ Pentru\ prima\ paranteza\ se\ foloseste\ suma\ lui\ Gauss.\\ Pentru\ a\ doua\ paranteza\ folosim\ formula:\\ \boxed{1+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\\ Revenind:\\ \frac{2003\cdot2004}{2}+\frac{2003\cdot 2004\cdot 4007}{6}=\\ 2003\cdot 1002+2003\cdot 334\cdot 4007=\\ 2003(1002+1338338)=\\ 2003\cdot1339340= [/tex]
[tex]\boxed{2.682.698.020}\\ \\ b)5\cdot 10+10\cdot 15+15\cdot 20+...+10015\cdot 10020=\\ 5\cdot 5(1\cdot2+2\cdot3+3\cdot 4+....+2003\cdot 2004)=\\ Paranteza\ am\ rezolvat-o\ deja\ la\ punctul\ a:\\ 25\cdot 2682698020=\boxed{67.067.450.500}[/tex]

Answer 2

a)
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
2003*2004*2005/3=4016015*668=2682698020
b)
5*10+10*15+15*20+....+5n*(5n+5)=n(n+1)(n+2)*25/3
n=2003
2003*2004*2005/3*25=2682698020*25=67067450500