Question

Calculati sumele folosind nr complexe:
Sume de combinari
E1= Cn luate 0 + Cn luate 3 + Cn luate 6+ ...
E2=Cn luate 1 + Cn luate 4 + Cn luate 7 +...
E3= Cn luate 2 + Cn luate 5 + Cn luate 8+...

Ne-a dat indiciu ca e legat de z³=1 si ca radacinile z=1, ε, ε²

Answer 1

radacinile cubice ale unitatii x²+x =1 =0 cu rad .( 2a +m -b ) x = m                             ( 2b +m -a ) x =- m = 1   ( este din x³  -1=0) 
 , ε₂= (-1 +√3i)/2 ,   ε₃ = (-1 -√3)/2 
1 . dezvoltam ( 1+ε₁)la puterea n = 2 la puterea n = dezv. binom
                      ( 1 +ε₂ ) la putrean = 2 la puterea n = dezv .binomului
E = 1/3 [ [2^n +( ( 1+ε₁)la puterea n( 1+ε₂)la puterea n ]=
= 1/3[ 2^n + ( cos π/3 +isinπ/3) putere n+( cos ( -π/3) +isin( -π/3))puteren=
=1/3 ( 2^n +2 cos nπ/3) 

2. se calculeaza suma ;
( 1 +ε₁)puterea n   +ε₂² (1+ε₂) puterea n   +ε₃²( 1+ε₃) puterea n 
E= 1/3  [  2^n + 2 cos ( n - 2)π /3 ]
3. se calculeaza suma 
( 1+ε₁) la puterea n + ε₂ (1 + ε₂) la puterea n + ε₃ ( 1 + ε₃ ) la puterea n=
= 1/3 [  2^n + 2 cos ( n -  4 )π /3 ]