Question

Calculati:$\sqrt{ \frac{1}{1*2*3}+ \frac{1}{2*3*4}+ \frac{1}{3*4*5}+...+ \frac{1}{48*49*50} }$

Answer 1

Se arata mai întâi că:

$\dfrac{1}{(n-1)n(n+1)}=\dfrac12\cdot\left(\dfrac{1}{(n-1)n}-\dfrac{1}{n(n+1)}\right)$  (se aduce la acela;i numitor ]n dreapta, ;i se ob'ine egalitatea.

Se folosește  scrie apoi egalitatea aceasta pentru n=2, 3, ..., 49 și se obține:

$\sqrt{\dfrac12\cdot\left(\dfrac{1}{1\cdot2}-\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{2\cdot3}-\dfrac{1}{3\cdot4}+...+\dfrac{1}{48\cdot49}-\dfrac{1}{49\cdot50}\right)}=$

$\sqrt{\dfrac12\cdot\left(\dfrac12-\dfrac{1}{49\cdot50}\right)}=...$ mai departe cred ca nu sunt probleme.

Trebuie să obții $\dfrac{3\sqrt{34}}{35}$

Answer 2

trei numere consecutive : 
                     1 / n· ( n +1) ·( n +2)  = 1 /2n  -  1 /( n +1)  + 1 /2·( n +2) 
n =1           1 / 1 · 2 ·3 =       1 /2·1    - 1 /2   + 1 / 2·3
n= 2           1 / 2 · 3 ·4 =      1 / 2 · 2  - 1 /3    + 1 / 2·4
n=3             1 / 3 · 4·5  =    1 / 2·  3   - 1 / 4   + 1 / 2 ·5 
n= 4             1 / 4 ·5·6  =    1 /  2 ·4   -  1 /5   + 1 / 2 · 6 
.................................................................................
n = 46           1 / 46·47·48 = 1 / 2·46  - 1 / 47  + 1 / 2· 48
n =47             1 / 47 ·48·49 = 1 / 2·47  -1 / 48  + 1 / 2· 49 
n= 48             1 / 48 ·49 ·50 = 1 / 2·48 - 1 /49   + 1 / 2 ·50 

suma = 1 /2  -1 /2  + 1 /2·2  -1 /49  + 1 /2·49 + 1 /2·50  , ceilalti se simplifica =0
suma = 1 /4   - 1 /2· 49  + 1 /2·50 = ( 49 ·50  - 2·50 + 2·49) / 4 ·49·50 =
          = ( 2450  - 100 + 98) / 4 · 49 ·50 = 2448  / 4 ·49 ·50 = 1224 / 4 · 49 ·25 
=306 / 49 · 25 
√suma = √306  / √49·√25 = 3√34 / 7 ·5  = 3√34 / 35