Question

Calculati ultima cifra a nr:$3^{2014} + 5^{2014} + 1^{2014}$
Aratati ca nr $5 ^{34} + 5^{17}$ nu e p.p
Demonstrati ca ,daca nr xx5(barat) este p.p,atunci nr 2x+5,x²+5 si 5x -1 sunt p.p

Answer 1

    
[tex]1) \\ Notatie:~~~U(...) = ultima~cifra \\ U(3^{2014} + 5^{2014} + 1^{2014})= \\ =U(3^{2012+2} +5 +1)=U(3^{2012}*3^2 +6) = U(3^{4*503}*3^2 +6)= \\ U((3^4)^{503}*3^2 +6)= U(81^{503}*3^2 +6)= U(1*9+6)=U(9+6)=\boxed{5} \\ \\ 2) \\ 5^{34}+5^{17}=5^{17}(5^{17}+1) \\ \\ =\ \textgreater \ 5^{34}+5^{17} \text{nu este patrat perfect deoarece la descompunere in factori} \\ \text{primi, unul din factori si anume 5 este la o putere impara.}[/tex]

[tex]3) \\ \\ \overline{xx5} ~este~patrat~perfect . \\ \text{Orice patrat perfect care are ultima cifra = 5,} \\ \text{este patratul unui numar care are la randul lui, ultima cifra = 5} \\ \\ \text{Daca un numar are ultima cifra =5, atunci } \\ \text{ patratul lui are ultimele 2 cifre = } \overline{25} \\ \\ =\ \textgreater \ ~pentru ~numarul~\overline{xx5}, ~~~x = 2 \\ =\ \textgreater \ \overline{xx5}=225=15\cdot 15=15^2. [/tex]

$\\ \\ Partea~ a ~2-a ~a~ exercitiului: \\ x=2 \\ 2x+,x^2+5 = 2\cdot 2+2^2+5 = 4+4+5 = \boxed{9 = 3^2~=~pp} \\ 5x -1 = 5\cdot 2-1 = 10-1 =\boxed{9 = 3^2~=~pp}$